Nếu bạn có một xu bình đẳng, ném xu là một phương pháp đơn giản để quyết định mối quan tâm của bạn. Tuy nhiên, nếu bạn muốn tính toán xác suất của mỗi khía cạnh của quả quyết định, bạn sẽ cần một chút toán học cơ bản. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khái quát cách tính toán xác suất ném xu.
1. Cơ bản về xác suất ném xu
Khi bạn ném một xu bình đẳng, có hai khía cạnh: một mặt có dấu hiệu "đầu" và một mặt có dấu hiệu "đuôi". Mỗi khía cạnh có xác suất 0.5, nghĩa là mỗi lần ném xu, bạn có 50% khả năng nhận được mỗi khía cạnh.
2. Tính toán xác suất với một lần ném xu
Để tính toán xác suất của một khía cạnh khi bạn ném xu một lần, bạn không cần bất cứ phép tính nào phức tạp. Xác suất của mỗi khía cạnh là 0.5. Nếu bạn muốn tính xác suất của một khía cạnh cụ thể (ví dụ: nhận được "đuôi"), bạn chỉ cần ghi nhớ là xác suất là 0.5.
3. Tính toán xác suất với nhiều lần ném xu
Nếu bạn muốn tính toán xác suất của một khía cạnh khi ném xu nhiều lần, bạn sẽ cần sử dụng phép toán hơn. Một phép toán cơ bản là phép cân bằng (odds), nhưng để tính toán xác suất chính xác, chúng ta sẽ sử dụng phép tính xác suất Bayes.
3.1 Phép tính xác suất Bayes
Phép tính xác suất Bayes là một phép toán dùng để cập nhật xác suất dựa trên một hoặc nhiều sự kiện mới. Trong trường hợp ném xu, chúng ta có thể sử dụng phép này để tính toán xác suất của một khía cạnh sau nhiều lần ném xu.
Định nghĩa cơ bản của phép tính xác suất Bayes là:
$$ P(A|B) = \frac{P(B|A) imes P(A)}{P(B)} $$
Trong đó:
- $P(A|B)$ là xác suất của A sau khi B đã xảy ra.
- $P(B|A)$ là xác suất của B sau khi A đã xảy ra.
- $P(A)$ và $P(B)$ là xác suất cơ sở của A và B trước khi bất cứ điều kiện nào được áp dụng.
Trong trường hợp ném xu, chúng ta có thể dùng phép này để tính toán xác suất của mỗi khía cạnh sau mỗi lần ném xu. Tuy nhiên, trước tiên chúng ta cần biết rằng mỗi lần ném xu là một sự kiện hoạt động độc lập với nhau. Điều này có nghĩa là mỗi lần ném xu không ảnh hưởng đến kết quả của lần ném trước đó.
3.2 Tính toán xác suất sau nhiều lần ném xu
Để tính toán xác suất của một khía cạnh sau nhiều lần ném xu, chúng ta sẽ sử dụng phép cân bằng (odds) để ghi nhớ mỗi lần ném xu. Phép cân bằng được tính bằng:
$$ \text{Odds} = \frac{\text{Xác suất của khía cạnh A}}{\text{Xác suất của khía cạnh B}} $$
Trong trường hợp ném xu bình đẳng, mỗi lần ném xu, odds là 1:1 (hoặc 1). Nếu bạn ném xu 3 lần và nhận được 2 lần "đuôi", thì odds sau 3 lần ném xu sẽ là:
$$ \text{Odds sau 3 lần ném} = \frac{2 \text{ lần "đuôi"}}{1 \text{ lần "đầu"}} = 2:1 $$
Để tính toán xác suất sau 3 lần ném xu, chúng ta sẽ sử dụng phép tính xác suát Bayes:
$$ P(\text{"đuôi"}|\text{sau 3 lần ném}) = \frac{P(\text{sau 3 lần ném}|\text{"đuôi"}) imes P(\text{"đuôi"})}{P(\text{sau 3 lần ném})} $$
Với $P(\text{"đuôi"}) = 0.5$ và $P(\text{sau 3 lần ném}|\text{"đuôi"}) = \frac{2}{3}$ (bởi vì trong 3 lần ném, có 2 lần "đuôi"), chúng ta có:
$$ P(\text{"đuôi"}|\text{sau 3 lần ném}) = \frac{\frac{2}{3} imes 0.5}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} $$
Nghĩa là sau khi ném xu 3 lần và nhận được 2 lần "đuôi", xác suất của tiếp tục nhận được "đuôi" trong lần ném tiếp theo là $\frac{2}{3}$.
4. Tính toán xác suất với các điều kiện khác nhau
Trong thực tế, bạn có thể có các điều kiện khác nhau khi ném xu, chẳng hạn như:
- Nếu bạn nhận được "đuôi" liền, bạn sẽ được thưởng. Xác suất này là $\frac{1}{2}$.
- Nếu bạn nhận được "đuôi" liền hai lần, bạn sẽ được thưởng lớn hơn. Xác suất này là $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
- Nếu bạn nhận được "đuôi" sau ba lần ném liền "đầu", xác suất này sẽ dùng phép tính xác suát Bayes để tính toán. Chúng ta sẽ ghi nhớ mỗi lần ném "đầu" là một sự kiện độc lập với nhau, và sau đó áp dụng phép tính Bayes để tính toán xác suất cuối cùng.
5. Tính toán xác suất với các biến thể khác nhau
Ngoài việc tính toán xác suất sau nhiều lần ném xu, bạn cũng có thể tính toán xác suất với các biến thể khác nhau, chẳng hạn như:
- Nếu xu bị rơi ra ngoài vòng quay hoặc bị mở ra không ghi nhận dấu hiệu. Xác suất này sẽ phụ thuộc vào các điều kiện vật lý và kỹ thuật của quả xu. Thường thì chúng ta sẽ ghi nhớ là xảy ra biến thể này là rất ít và có thể bỏ qua trong tính toán cơ bản.
- Nếu bạn có thể thay đổi khía cạnh của xu (ví dụ: sử dụng một xeo hoặc một xeo kép), thì xác suất của mỗi khía cạnh sẽ không còn là 0.5, mà sẽ phụ thuộc vào các kỹ thuật và các yếu tố khác. Trong trường hợp này, bạn sẽ cần thêm các tham số để mô tả khía cạnh của xeo và áp dụng các phép toán tương ứng để tính toán xác suất.
